Теорема 3.2.1

Предварительно докажем небольшую лемму.

Лемма

x₁,x₂,y₁,y₂  |max(x₁,x₂) - max(y₁,y₂)| |max{|x₁-y₁|,|x₂-y₂|}

Доказательство:

Пусть, для определенности, max(x₁,x₂) max(y₁,y₂), тогда

|max(x₁,x₂) - max(y₁,y₂)| = max(x₁,x₂) - max(y₁,y²) =

= max {min(x₁-y₁,x₁-y₂), min(x₂-y₁,x₂-y₂)}

max {x₁-y₁,x₂-y₂} max {|x₁-y₁|,|x₂-y₂|}

q.e.d.

Теперь доказательство теоремы.

1. Покажем, что

Так как - кусочно-линейная непрерывная функция, заданная на параллелепипеде [0,1]^D, то она достигает своих экстремумов на границах областей линейности и в вершинах [0,1]^D. Следовательно, в точке экстремума координаты q могут принимать одно из четырех значений:

a.) q_k=0

b.) q_k=1

c.) q_k=pⁱ_Ck

d.) q_k=p^j_Ck

Обозначим,

тогда

По доказанной лемме:

Проанализируем варианты a.-d.:

a.) q_k=0

b.) q_k=1

c.) q_k=pⁱ_Ck

d.) q_k=p^j_Ck

Легко видеть, что

Следовательно

2. Покажем, что

Для этого нужно предъявить q, для которого:

Пусть k таково, что l

  ,

т.е.

Выберем q:

Следовательно

q.e.d.